Consigne: Pour tout entier \(N\geqslant1\), on sait que l'intégrale généralisée \(I_N=\int_N^{+\infty}\frac{e^{-\sqrt t}}{\sqrt t}\,dt\) converge vers \(2e^{-\sqrt N}\) et que \(\sum_{n\geqslant1}\frac{e^{-\sqrt n}}{\sqrt n}\) converge
On considère \(R_N=\sum^{+\infty}_{n=N}u_n\)
On a l'encadrement $$2e^{-\sqrt N}\leqslant R_N\leqslant\frac{e^{-\sqrt N}}{\sqrt N}+2e^{-\sqrt N}$$
En déduire un équivalent de \(R_N\) quand \(n\) tend vers l'infini

Diviser pour encadrer par des expressions qui tendent vers \(1\)
On a d'après l'encadrement : $$1\leqslant \frac{R_N}{2e^{-\sqrt N}}\leqslant\frac1{2\sqrt N}+1$$

d'après le théorème des gendarmes, on a donc : $$\lim_{N\to+\infty}\frac{R_N}{2e^{-\sqrt N}}=1$$donc $$R_N\sim2e^{-\sqrt N}$$

(Théorème des gendarmes - Théorème de l’encadrement)

Consigne: On considère la suite récurrente définie par \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=\ln(1+u_n)\)
On a l'encadrement $$0\lt u_{n+1}\leqslant u_n\leqslant1$$ et \(\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} } u_n=0\)
Démontrer que $$\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} }\left(\frac1{u_{n+1}}-\frac1{u_n}\right)=\frac12$$

Réunir les fractions et exprimer \(u_{n+1}\) en fonction de \(u_n\)
$$\frac1{u_{n+1}}-\frac1{u_n}=\frac{u_n-u_{n+1}}{u_n u_{n+1}}=\frac{u_n-\ln(u_n)}{u_n\ln(u_n)}$$

DL \(\to\) équivalence

$$\sim\frac{u_n^2}{2u_n^2}=\frac12$$

Consigne: Soit \((u_n)_n\) une suite telle que $$\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} }\left(\frac1{u_{n+1}}-\frac1{u_n}\right)=\frac12$$ démontrer que lorsque \(n\) tend vers l'infini, \(u_n\sim\frac2n\)

On a le théorème : si \(a_n\underset{+\infty}\sim b_n\gt 0\), et si \(\sum b_n=+\infty\), alors $$\sum^{n-1}_{k=0}a_k\underset{+\infty}\sim\sum^{n-1}_{k=0}b_k$$ on prend \(a_k=\frac1{u_{k+1}}-\frac1{u_k}\) et \(b_k=\frac12\)

On a donc $$\frac1{u_n}\sim\frac1{u_n}-\frac1{u_0}=\sum^{n-1}_{k=0}\left(\frac1{u_{k+1}}-\frac1{u_k}\right)\sim\frac n2$$ donc \(u_n\sim\frac2n\)